CanMO 1987

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle oplossingen in natuurlijke getallen $a,b,n$ voor $a^2+b^2=n!$ als $a\leq b$ en $n<14$.

Vraag 2 Opgelost!

Het getal 1987 kan in een bepaalde basis $b$ geschreven worden als een getal van drie cijfers $xyz$. Als $x+y+z=1+9+8+7$, bepaal dan alle mogelijke waarden voor $x,y,z,b$.

Vraag 3

Stel dat $ABCD$ een parallellogram is en $E$ een punt op de zijde $BC$. Als de driehoeken $DEC, BED, BAD$ alledrie gelijkbenig zijn, wat zijn dan de mogelijke waarden voor de hoek $DAB$?

Vraag 4

Op een groot vlak veld worden $n$ mensen gepositioneerd, zo dat dat voor iedere persoon geldt dat de afstand tot elke andere persoon verschillend is. Iedereen heeft een waterpistool vast en schiet (en raakt) op een gegeven teken de dichtsbijzijnde persoon. Als $n$ oneven is, toon dan aan dat er altijd iemand droog blijft. Is dit altijd waar als $n$ even is?

Vraag 5 Opgelost!

Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal geldt dat
$$\lfloor\sqrt n+\sqrt{n+1}\rfloor=\lfloor\sqrt{4n+1}\rfloor=\lfloor\sqrt{4n+2}\rfloor= \lfloor\sqrt{4n+3}\rfloor.$$