diophantische vergelijking

Ik veronderstel dat 0 geen natuurlijk getal is. Het zou trouwens toch maar voor triviale oplossingen zorgen.
Voor $n = 1$ en $n = 2$ vinden we de enige triviale oplossing $(a,b,n) = (1,1,1)$.
Stel dat $3 \leq n < 6$. Dan is $a^2+b^2 = n! \equiv 0\ (\textrm{mod }3)$. Maar de kwadraatresten modulo 3 zijn 0 en 1, dus moet $a\equiv b\equiv 0\ (\textrm{mod }3)$. Maar dan zou $n! = a^2+b^2 \equiv 0\ (\textrm{mod }9)$, en dat is onmogelijk als $3\leq n < 6$. Geen oplossingen dus.
Stel dat $n = 6$. Dan moet $a^2+b^2 = 6!$. Nu is $16 | 6!$, en de enige kwadraatresten modulo 16 zijn 0, 1, 4 en 9, dus moet $a\equiv b\equiv 0\ (\textrm{mod }4)$. Schrijf dus $a = 4u$ en $b = 4v$. Dan moet $u^2+v^2 = 45$. Men kan snel nagaan dat enkel $(u,v) = (3,6),(6,3)$ hieraan voldoen. Dus nieuwe oplossingen: $(a,b,n) = (12,24,6),(24,12,6)$.
Stel dat $7\leq n < 14$. Dan is $a^2+b^2 = n!\equiv 0\ (\textrm{mod }7)$. Maar de kwadraatresten modulo 7 zijn 0, 1, 2 en 4, dus moet $a\equiv b\equiv 0\ (\textrm{mod }7)$. Maar dan zou $n! = a^2+b^2\equiv 0\ (\textrm{mod }49)$, en dat is onmogelijk als $7\leq n < 14$. Geen oplossingen dus.