CanMO 1985

Vraag 1

De lengte van de zijden van een driehoek zijn 6,8 en 10. Bewijs dat er precies één rechte bestaat die zowel zijn omtrek als zijn oppervlakte middendoor deelt.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs of ontkracht volgende stelling: er bestaat een natuurlijk getal dat verdubbelt in waarde als je het eerste cijfer achteraan plaatst.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $P_1$ en $P_2$ regelmatige 1985-hoeken met respectievelijke omtrekken $x$ en $y$. Iedere zijde van $P_1$ raakt aan een cirkel met omtrek $c$, en deze cirkel gaat door ieder hoekpunt van $P_2$. Bewijs dat $x+y\geq 2c$. (Je mag aannemen dat $\tan\theta\geq\theta$ voor alle $0\leq\theta\leq\frac\pi2$.)

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs dat $2^{n-1}|n!$ als en slechts als $n=2^{k-1}$ met $k$ een natuurlijk getal.

Vraag 5

Zij $1