regelmatige 1985-hoeken
Opgave - CanMO 1985 vraag 3
Zij $P_1$ en $P_2$ regelmatige 1985-hoeken met respectievelijke omtrekken $x$ en $y$. Iedere zijde van $P_1$ raakt aan een cirkel met omtrek $c$, en deze cirkel gaat door ieder hoekpunt van $P_2$. Bewijs dat $x+y\geq 2c$. (Je mag aannemen dat $\tan\theta\geq\theta$ voor alle $0\leq\theta\leq\frac\pi2$.)
- login om te reageren
Oplossing
$x=1985*2r*tan(\frac{\pi}{1985})$ en $y=1985*2r*sin(\frac{\pi}{1985})$
T.B.: $1985*2r(tan(\frac{\pi}{1985})+sin(\frac{\pi}{1985}))\geq 4\pi*r$
We kunnen dit echter aantonen voor iedere regelmatige n-hoek:
$tan(x)+sin(x)\geq 2x$ voor x in [0,$\frac{\pi}{2}$[.
In limietwaarde voor x gaande naar 0 zijn beide leden natuurlijk gelijk aan 0.
Nu is nog aan te tonen dat het linkerlid groter is, maw sneller stijgt.
Daarom leidden beide leden af en krijgen we:
$\frac1{cos^2(x)}+cos(x)\geq 2$ We vormen om en krijgen $cos^3(x)-2cos^2(x)+1\geq 0$
Nulpunten zoeken $(1, \frac{1+\sqrt(5)}{2},\frac{1-\sqrt(5)}{2})$ tekentabel maken, en dit blijkt inderdaad zo te zijn voor x element van $ [0,\frac{\pi}{2}[ \subseteq [0, \frac{1+\sqrt(5)}{2}].$
Dit konden we ook zien door op te merken dat $\frac1{cos^2(x)}+cos(x)\geq \frac1{cos(x)}+cos(x)\geq 2$ wegens AM-GM en $cos(x) \le 1.$