CanMO 1982

Vraag 1

In de tekening is $OB_i$ parallel en gelijk in lengte als $A_iA_{i+1}$ voor $i=1,2,3,4(A_5=A_1)$. Toon aan dat de oppervlakte van $B_1B_2B_3B_4$ twee keer zo groot is als de oppervlakte van $A_1A_2A_3A_4$.

Vraag 2 Opgelost!

Als $a,b,c$ de wortels zijn van de vergelijking $x^3-x^2-x-1=0$,
(i) toon dan aan dat $a,b,c$ verschillend zijn;
(ii) toon aan dat
$$\frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b}+\frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c}+ \frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}$$
een geheel getal is.

Vraag 3

Zij $R^n$ de $n-$dimensionale Euclidische ruimte. Bepaal het kleinste aantal $g(n)$ van punten van een verzameling in $R^n$ zodat ieder punt in $R^n$ op een irrationale afstand ligt van minstens één punt in die verzameling.

Vraag 4

Zij $p$ een permutatie van de verzameling $S_n=\{1,2,...,n\}$. Een element $j\in S_n$ wordt een gefixeerd punt van $p$ genoemd als $p(j)=j$. Zij $f(n)$ het aantal permutaties zonder gefixeerde elementen en $g(n)$ het aantal permutaties met één gefixeerd element, toon dan aan dat $|f_n-g_n|=1$.

Vraag 5

De hoogtes van een tetraëder $ABCD$ worden uitwendig verlengd tot de punten $A',B',C',D'$ respectievelijk, met $AA'=k/h_a,BB'=k/h_b,CC'=k/h_c,DD'=k/h_d$. $k$ stelt een constante voor en $h_a$ stelt de lengte van de hoogte voor van $ABCD$ uit het hoekpunt $A$, etc. Bewijs dat het centrum van $A'B'C'D'$ samenvalt met het centrum van $ABCD$.