natuurlijk getal
Opgave - CanMO 1982 vraag 2
Als $a,b,c$ de wortels zijn van de vergelijking $x^3-x^2-x-1=0$,
(i) toon dan aan dat $a,b,c$ verschillend zijn;
(ii) toon aan dat
$$\frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b}+\frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c}+ \frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}$$
een geheel getal is.
- login om te reageren
Oplossing
(i) we merken eerst op de volgende gelijkheden op (gewoon de coëfficiënten van de veelterm):
$\begin{cases}
a+b+c=1 \\
ab+ac+bc=-1 \\
abc=1
\end{cases}$
Stel dat de wortels alle drie gelijk zijn, dus dat $a=b=c$. Dan moeten ze alle drie gelijk zijn aan $\frac{1}{3}$ maar ook aan $1$ volgens de laatste ongelijkheid, een duidelijke contradictie.
Stel dat er twee gelijk zijn aan elkaar, zeg $a=b$. Dan bekomen we
$\begin{cases}
2a+c=1 \\
a^2+2ac=-1 \\
a^2c=1
\end{cases}$
Als we via substitutie c eruithalen bekomen we $c=1-2a$. Dit invullen in de tweede vergelijking geef $a^2+2a-4a^2=-1\Leftrightarrow 3a^2-2a-1=0$ waardoor we twee oplossingen $1$ en $-\frac{1}{3}$ bekomen. Als we zo c uit de eerste vergelijking halen en c uit de derde vergelijking halen bekomen we andere waarden, dus ze zijn alledrie verschillend.
***
Merk op voor deel 2 dat de uitdrukking symmetrisch is, we de graad kunnen verlagen zodat iedere term in iedere variabele een graad kleiner dan 3 heeft en met vieta iedere symmetrische sum hierin geheel is.