CanMO 1981

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat de vergelijking
$$\lfloor x\rfloor+\lfloor 2x\rfloor+\lfloor 4x\rfloor+\lfloor 8x\rfloor+\lfloor 16x\rfloor+\lfloor 32x\rfloor=12345$$
geen oplossingen heeft.

Vraag 2

Gegeven een cirkel met straal $r$ en een raaklijn $l$ aan de cirkel door een punt $P$ op de cirkel. Uit een veranderlijk punt $R$ op de cirkel wordt de loodrechte $RQ$ getrokken, met $Q$ op $l$. Bepaal de maximum oppervlakte van de driehoek $PQR$.

Vraag 3

Gegeven een eindige verzameling rechten in een vlak $P$, toon aan dat het mogelijk is om een willekeurig grote cirkel te tekenen in $P$ die geen van deze rechten snijdt. Toon vervolgens aan dat het mogelijk is om een oneindige rij rechten (eerste rechte, tweede rechte, etc.) zo te ordenen in $P$ dat iedere cirkel in $P$ minstens één van deze rechten snijdt. (Een punt wordt niet als cirkel gezien.)

Vraag 4

$P(x)$ en $Q(x)$ zijn twee veeltermen die voldoen aan $P(Q(x))=Q(P(x))$ voor reële $x$. Als de vergelijking $P(x)=Q(x)$ geen reële oplossingen heeft, toon dan aan dat de vergelijking $P(P(x))=Q(Q(x))$ ook geen reële oplossingen heeft.

Vraag 5

Elf theatergroepen deden mee aan een festival. Iedere dag werden enkele groepen geselecteerd om op te treden, terwijl de overige groepen zich tussen het publiek moesten mengen en naar de andere groepen moesten kijken. Aan het eind van het festival had iedere groep iedere andere groep minimum één keer zien optreden. Hoeveel dagen duurde het festival minimum?