VWO 2024

Dag 1

Vraag 1

Zie VWO-site voor de exacte opgave met tekeningen.

Ron heeft een magisch spelbord met uitsluitend witte velden. Hij wil een schaakbordpatroon maken met witte en zwarte velden, waarbij geen twee gelijk gekleurde velden naast elkaar liggen. Ron beschikt bovendien over één schaakstuk: een paard. Ron zet het paard op een veld naar keuze. Hij verzet het daarna telkens met een paardensprong naar een ander veld, dat ofwel twee velden horizontaal en één verticaal, ofwel twee velden verticaal en één horizontaal verder ligt, zoals in de figuur hiernaast.

In vogelvlucht springt het paard zo over twee velden, aangeduid met een kruisje in de figuur hieronder. Bij elke paardensprong veranderen die twee velden allebei van kleur: zwart wordt wit en wit wordt zwart, zoals in het voorbeeld ernaast.

a. Toon aan dat Ron wel een schaakbordpatroon kan maken als het spelbord 3 bij 3 velden groot is.

b. Toon aan dat Ron geen schaakbordpatroon kan maken als het spelbord 4 bij 4 velden groot is.

c. Toon aan dat Ron geen schaakbordpatroon kan maken als het spelbord 3 bij 5 velden groot is.

Vraag 2

Op het ene been van hoek $A < 180^\circ$ liggen de drie punten $P_1$, $P_2$ en $P_3$. Op het andere been liggen de drie punten $Q_1$, $Q_2$ en $Q_3$. Stel dat $|AP_1| + |AQ_1| = |AP_2| + |AQ_2| = |AP_3| + |AQ_3|$. Bewijs dat de middelloodlijnen van de lijnstukken $[P_1Q_1]$, $[P_2Q_2]$ en $[P_3Q_3]$ concurrent zijn.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $f$ een veeltermfunctie met $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Als $f(3) = 20$, $f(6) = 40$ en $f(9) = 60$, waaraan is $f(0) + f(12)$ dan gelijk?

Vraag 4

In een rij van $n$ personen wordt een cake doorgegeven van links naar rechts. Wanneer iemand de cake krijgt, mag hij die ofwel onaangeroerd doorgeven, ofwel er een stukje van afsnijden en de rest van de cake verder doorgeven. Als iemand een stuk wil afsnijden en er nog $k - 1$ personen rechts overblijven, dan vragen de beleefdheidsregels dat de grootte van het stuk $\frac{1}{k}$ is van de grootte van het zelf gekregen stuk cake (m.a.w. het $k$-de deel van het zelf gekregen stuk cake).

$S_n$ is de verzameling van alle mogelijke breukdelen van de oorspronkelijke cake die kunnen overblijven voor de laatste persoon. Het aantal elementen van $S_n$ noteren we als $a_n$. Zo is $S_2 = \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}$ en is $a_2 = 2$.

a. Waaraan is de verzameling $S_5$ gelijk?
b. Toon aan dat $a_n = 2a_{n-1}$ als en slechts als $n$ een priemgetal is.
c. Toon aan dat $a_n$ oneven is als en slechts als $n$ een volkomen kwadraat is.