verzameling van taartdelen

In een rij van $n$ personen wordt een cake doorgegeven van links naar rechts. Wanneer iemand de cake krijgt, mag hij die ofwel onaangeroerd doorgeven, ofwel er een stukje van afsnijden en de rest van de cake verder doorgeven. Als iemand een stuk wil afsnijden en er nog $k - 1$ personen rechts overblijven, dan vragen de beleefdheidsregels dat de grootte van het stuk $\frac{1}{k}$ is van de grootte van het zelf gekregen stuk cake (m.a.w. het $k$-de deel van het zelf gekregen stuk cake).

$S_n$ is de verzameling van alle mogelijke breukdelen van de oorspronkelijke cake die kunnen overblijven voor de laatste persoon. Het aantal elementen van $S_n$ noteren we als $a_n$. Zo is $S_2 = \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}$ en is $a_2 = 2$.

a. Waaraan is de verzameling $S_5$ gelijk?
b. Toon aan dat $a_n = 2a_{n-1}$ als en slechts als $n$ een priemgetal is.
c. Toon aan dat $a_n$ oneven is als en slechts als $n$ een volkomen kwadraat is.