som van f-waarden

Elegante oplossing

Men kan narekenen dat
$12^t+6\cdot 6^t-4*3^t-4*9^t=0$ voor $t \in \{0,1,2,3\}$ en
$12^t+6\cdot 6^t-4*3^t-4*9^t=1944$ voor $t=4.$

Per inductie kan men bewijzen dat voor een veelterm $f$ van graad $t$ geldt dat
$\sum_{k=0}^{t+1} f(k) { {t+1}\choose {k} } (-1)^k =0$, wat de eerste uitspraak bevestigd.

Dat betekent dat voor $f(x)=x^4+ ax^3+bx^2+cx+d$ geldt dat
$f(0)+f(12)+6f(6)=4f(3)+4f(9)+1944$
en dus
$f(0)+f(12)=4f(3)-6*f(6)+4f(9)+1944=4*20-6*40+4*60+1944=2024$.

Klad (alternatief voor het inductiebewijs)

Er geldt:
$f(0)+f(12)=d+12^4+12^3a+12^2b+12c+d$
$\Longrightarrow f(0)+f(12)=20736+1728a+144b+12c+2d$.
Er geldt ook dat $f(3)=81+27a+9b+3c+d$, $f(6)=1296+216a+36b+6c+d$ en $f(9)=6561+729a+81b+9c+d$.

Nu zullen we proberen $f(0)+f(12)$ te schrijven als een lineaire combinatie van $f(3)$, $f(6)$ en $f(9)$ (eventueel plus een constante term). We zoeken dus waarden $w,x,y,z \in \mathbb{R}$ zodanig dat:
$f(0)+f(12)=xf(3)+yf(6)+zf(9)+w$.
Hiervoor zullen we een $3$x$3$-stelsel in $x$, $y$ en $z$ oplossen, dat bekomen kan worden door de coëfficiënten van $b$, $c$ en $d$ te vergelijken:
$\begin{cases}
9x+36y+81z=144\\
3x+6y+9z=12\\
x+y+z=2
\end{cases}$
$\Longrightarrow\begin{cases}
x+4y+9z=16\\
x+2y+3x=4\\
x+y+z=2
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x+4y+9z=16\\
-2y-6z=-12\\
-3y-8z=-14
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x+4y+9z=16\\
y+3z=6\\
3y+8z=14
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x+4y+9z=16\\
y+3z=6\\
8z-9z=14-3*6
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x+4y+9z=16\\
y+3z=6\\
z=4
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x+4y=-20\\
y=-6\\
z=4
\end{cases}$
$\Longrightarrow \begin{cases}
x=4\\
y=-6\\
z=4
\end{cases}$

Nu rest ons nog te controleren dat ook de coëfficiënten van $a$ overeenkomen, en de constante term $w$ te bepalen:
$4f(3)-6f(6)+4f(9)+w=4(3^4+3^3a+3^2b+3c+d)$ $-6(6^4+6^3a+6^2b+6c+d)+4(9^4+9^3a+9^2b+9c+d)+w$
$\Longrightarrow 4f(3)-6f(6)+4f(9)+w=4*81-6*1296+4*6561+(4*27-6*216+4*729)a$
$+(4*9-6*36+4*81)b+(4*3-6*6+4*9)c+(4-6+4)d+w$
$\Longrightarrow 4f(3)-6f(6)+4f(9)+w=18792+1728a+144b+12c+2d+w$.

Zoals reeds berekend in het begin, geldt er dat:
$f(0)+f(12)=20736+1728a+144b+12c+2d$.
We zien dus dat ook de coëfficiënten van $a$ overeenkomen (beide zijn gelijk aan $1728=12^3$), en dat $w=20736-18792=1944$.

Daarom kunnen we concluderen dat:
$f(0)+f(12)=4f(3)-6*f(6)+4f(9)+1944=4*20-6*40+4*60+1944=2024$.