VWO 2022

Vraag 1 Opgelost!

De punten $A, B, C, D$ liggen in die volgorde op een cirkel. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in
het punt $P$ . Het punt $B′$ ligt op de rechte $AB$ zodat $A$ tussen $B$ en $B′$ ligt en $|AB′
| = |DP |$.
Het punt $C′$ ligt op de rechte $CD$ zodat $D$ tussen $C$ en $C′$ ligt en $|DC′| = |AP|$. Bewijs dat $\angle B'PC' = \angle ABD$.

Vraag 2

Een domino is een rechthoek waarvan de lengte het dubbele is van de breedte. Elk vierkant
kan onderverdeeld worden in zeven domino’s, bijvoorbeeld zoals op de figuur op de VWO-site bij deze vraag.

a) Toon aan dat je een vierkant kan onderverdelen in $n$ domino’s voor alle $n \ge 5$.
b) Toon aan dat je een vierkant niet kan onderverdelen in drie of in vier domino’s

Vraag 3

Arne heeft $2n + 1$ kaartjes. Op elk kaartje staat één getal. Op één kaartje staat het getal $0$.
De natuurlijke getallen $1, 2, \cdots, n$ komen elk op precies twee kaartjes voor. Bewijs dat Arne de kaartjes op een rij kan leggen zodat er precies $m$ kaartjes liggen tussen de twee kaartjes met
het getal $m$, voor elke $m \in \{1, 2, . . . , n\}$.

Vraag 4

Bepaal alle reële veeltermen $P$ van graad hoogstens 22 waarvoor
$$kP(k+1) - (k+1) P(k) = k^2+k+1$$
voor alle $k \in \{1,2,\cdots,21,22\}$