klassieke meetkunde
Opgave - VWO 2022 vraag 1
De punten $A, B, C, D$ liggen in die volgorde op een cirkel. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in
het punt $P$ . Het punt $B′$ ligt op de rechte $AB$ zodat $A$ tussen $B$ en $B′$ ligt en $|AB′
| = |DP |$.
Het punt $C′$ ligt op de rechte $CD$ zodat $D$ tussen $C$ en $C′$ ligt en $|DC′| = |AP|$. Bewijs dat $\angle B'PC' = \angle ABD$.
- login om te reageren
Oplossing
Er geldt:
$\angle PDC'=180°-\angle PDC$ (supplementaire hoeken)
$\angle PDC'=180°-\angle BDC$
$\angle PDC'=180°-\angle BAC$ (gelijke omtrekshoeken)
$\angle PDC'=\angle B'AC=\angle B'AP$ (supplementaire hoeken)
In $\triangle APB'$ en $\triangle DC'P$ geldt:
$\angle B'AP=\angle PDC'$ (zie hierboven)
$|AB'|=|DP|$ (gegeven)
$|AP|=|DC'|$ (gegeven)
$\Longrightarrow \triangle APB' \cong \triangle DC'P$ (Zijde-Hoek-Zijde)
$\Longrightarrow \angle PB'A=\angle C'PD$ ($1$)
Er geldt:
$\angle BPA+\angle APB'+\angle B'PC'+\angle C'PD=180°$ (gestrekte hoek)
$\Longrightarrow \angle B'PC'+\angle BPA +(\angle APB'+\angle C'PD)=180°$
$\Longrightarrow \angle B'PC'+\angle BPA+(\angle APB'+\angle PB'A)=180°$ (zie ($1$))
$\Longrightarrow \angle B'PC'+\angle BPA+(180°-\angle PAB')=180°$ (hoekensom in $\triangle APB'$)
$\Longrightarrow \angle B'PC'+\angle BPA+\angle PAB=180°$ (supplementaire hoeken)
$\Longrightarrow \angle B'PC'+(180°-\angle ABP)=180°$ (hoekensom in $\triangle ABP$)
$\Longrightarrow \angle B'PC'=\angle ABP=\angle ABD$, zoals gewenst.