VWO 2018

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met $c^3=a^3+b^3$, bewijs dat $\gamma> 60^{\circ}.$

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat voor $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ geldt dat $sin(cos(x))$<$cos(sin(x)). $

Vraag 3 Opgelost!

Zij $f$ de functie die voor elk natuurlijk getal $n$ de grootste oneven deler van $n$ als waarde heeft.

(a) Wat is de waarde van $f(n+1)+f(n+2)+\ldots+f(2n)$ voor zeker natuurlijk getal $n$?
(b) Wat is de waarde van $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots +f(2^n)$ voor natuurlijke $n$?

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle getallen $N$ van $3$ cijfers, zodat $N^2$ $6$ cijfers heeft en $N$ gelijk is aan de som van het getal gevormd door de eerste drie cijfers van $N^2$ en het getal gevormd door de laatste drie cijfers van $N^2.$