speciale getallen

Aangezien $100 000 \le N^2 < 1000 000$ ($N$ heeft 6 cijfers), moet $\sqrt{10}\cdot100 \le N < 1000$. En doordat $N\in\mathbb{N}$, geldt dat $317\le N\le999$

In het vervolg zullen we met $a \mod b$ het unieke gehele getal in $[0,b-1]$ aanduiden dat in dezelfde restklasse modulo $b$ zit als $a$.

Bovendien geldt er dat $(N^2 \mod 1000) + \frac{N^2 - (N^2 \mod 1000)}{1000} = N$
$\Leftrightarrow \frac{N^2 + 999\cdot (N^2 \mod 1000)}{1000} = N$
$\Leftrightarrow N^2 + 999\cdot (N^2 \mod 1000) = 1000N$
$\Leftrightarrow 999\cdot (N^2 \mod 1000) = 1000N - N^2$
$\Rightarrow 999\mid 1000N - N^2$
$\Leftrightarrow 999\mid N - N^2$
$\Leftrightarrow 37\cdot3^3\mid N\cdot(N-1)$

Dus moet oftewel $37\mid N$, oftewel $37\mid N-1$, aangezien $\gcd(N, N-1)=1$.

Als $37\mid N$, moet $3^3\mid N-1$ of $3^3\mid N$, want $27 \mid N\cdot(N-1)$ en als $3\mid N$, is $3 \not \mid N-1$. Voor $37\cdot3^3 \mid N$ vinden we de oplossing $N=999$, en voor $37\mid N\mbox{ en }3^3 \mid N-1$ vinden we $N=703$.

Als $37 \not \mid N$, moet $37\mid N-1$. Dan is, om dezelfde reden als in de vorige paragraaf, $3^3 \mid N$ of $3^3 \mid N-1$. Maar als $3^3 \cdot 37 \mid N-1$, is $N-1=999\Leftrightarrow N=1000$, wat niet kan. Dus moet $3^3 \mid N$. Daarvoor vinden we de oplossing $N=297$, wat ook niet kan.

Bijgevolg zijn $N=999$ en $N=703$ de enige oplossingen, want hun kwadraten $494209$ en
$998001$ voldoen aan de eigenschap van de vraag.