Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 2018 › Omdat gonio nog eens moest voorkomen

Omdat gonio nog eens moest voorkomen

Tags:

Opgave - VWO 2018 dag 1 vraag 2

Bewijs dat voor $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ geldt dat $sin(cos(x))$<$cos(sin(x)). $

Oplossing

Ingediend door Serge

We weten dat $\sin x \leq x$ voor $x \geq 0$ met gelijkheid enkel voor $x = 0$ en dat $0\leq \cos x \leq 1$ voor $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
Er volgt dat $\sin(\cos x) \leq \cos x$.
Verder is $\cos x \leq \cos(\sin x)$ wegens de eerste ongelijkheid en omdat $\cos x$ dalend is over het beschouwde interval. Alles tesamen hebben we dus
\[
\sin(\cos x) \leq \cos x \leq \cos(\sin x).
\]
De eerste gelijkheid vindt enkel plaats voor $\cos x = 0$, dus voor $x = \frac{\pi}{2}$, maar voor deze waarde is de tweede ongelijkheid niet waar. De ongelijkheid is dus strikt.

Ingediend door orija

$\sin(\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \cos x)$

Dus $\cos(\frac{\pi}{2} - \cos x) < cos(sin(x))$
$\iff \frac{\pi}{2} - \cos x > \sin x$ want $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$
$\iff \frac{\pi}{2} > \sin x + \cos x$
Laat $\tan \phi = 1 \iff \phi = \frac{\pi}{4} + k\pi$ met $k \in \mathbb{Z}$
Dan:
$\frac{\pi}{2} > \sin x + \tan \phi\cos x$
$\frac{\pi}{2} > \frac{\sin x \cos \phi + \sin \phi \cos x}{\cos \phi}$
$\cos \phi * \frac{\pi}{2} > \sin x \cos \phi + \sin \phi \cos x$
$\cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff \frac{\sqrt{2}\pi}{4} > \sin{(x+\phi)}$

Merk op dat de sinus maximaal $1$ is, en
$\sqrt{2} * \pi > 4$
waardoor er geen $x$ bestaat en de ongelijkheid altijd klopt.