VWO 2014

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

$a$
Bewijs de parallellogramwet die zegt dat in een parallellogram de som van de kwadraten van de lengtes van de vier zijden gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de twee diagonalen.

$b$
De ribben van een viervlak hebben lengtes $a, b, c, d, e$ en $f$. De drie lijnstukken die de middens van kruisende ribben verbinden hebben lengtes $x, y$ en $z$. Bewijs dat

$ 4(x^2+y^2+z^2)=a^2 + b^2+ c^2+d^2+e^2+f^2. $

Vraag 2 Opgelost!

n de klas van juffrouw Lies zitten alleen leerlingen die nooit liegen en leerlingen die altijd liegen. Alle leerlingen weten van elkaar tot welke categorie ze behoren. Tijdens een klasgesprek zegt iedere leerking uit de klas over iedere andere leerling of hij of zij een leugenaar is of niet. In totaal wordt er $320$ keer gezegd dat iemand niet liegt. De volgende dag is een van de leerlingen die altijd liegt ziek. Er wordt opnieuw een dergelijk klasgesprek georganiseerd waarbij niet over de zieke leerling wordt gesproken. Nu wordt $300$ keer gezegd dat iemand wel liegt. Hoeveel leugenaars zitten er in de klas van juffrouw Lies?

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ PQRS$ een vierhoek met $|PQ|=|QR|=|RS|, \angle{Q}=110^{\circ}$ en $ \angle{R}=130^{\circ}$. Bepaal $\angle{P} $ en$ \angle{S}$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $P(x)$ een veelterm van graad $5$ en stel dat $a$ en $b$ reële getallen zijn verschillend van nul. Veronderstel dat de rest bij deling van$P(x)$ door $x^3+ax+b$ gelijk is aan de rest bij deling van $P(x)$ door $x^3+ax^2+b$. Bepaal dan $a+b$.