gelogen vraag
Opgave - VWO 2014 dag 1 vraag 2
n de klas van juffrouw Lies zitten alleen leerlingen die nooit liegen en leerlingen die altijd liegen. Alle leerlingen weten van elkaar tot welke categorie ze behoren. Tijdens een klasgesprek zegt iedere leerking uit de klas over iedere andere leerling of hij of zij een leugenaar is of niet. In totaal wordt er $320$ keer gezegd dat iemand niet liegt. De volgende dag is een van de leerlingen die altijd liegt ziek. Er wordt opnieuw een dergelijk klasgesprek georganiseerd waarbij niet over de zieke leerling wordt gesproken. Nu wordt $300$ keer gezegd dat iemand wel liegt. Hoeveel leugenaars zitten er in de klas van juffrouw Lies?
- login om te reageren
Oplossing
Stel w = #lln die de waarheid spreken, en l = #lln die liegen.
Elke persoon die de waarheid spreekt zal over elke andere persoon die de waarheid spreekt zeggen dat die de waarheid spreekt en analoog zal leugenaar over elke andere leugenaar zeggen dat die de waarheid spreekt. Hieruit volgt dat #zeggen waarheid = w*(w-1) + l*(l-1)
Dus: w*(w-1) + l*(l-1) = 320 (noem ik 1e vgl)
Elke lln die de waarheid spreekt zal van elke lln die liegt zeggen dat die liegt en elke lln die liegt zal van elke lln, die de waarheid spreekt zeggen dat die liegt.
#zeggen leugen = w*l + l*w = 2*w*l
Dus in de situatie dat er 1 leugenaar minder is geldt: 2*w*(l-1) = 300 <=> w*(l-1) = 150 (noem ik 2e vgl)
We zouden dit nu als een ingewikkeld stelsel kunnen oplossen maar omdat we alleen zoeken naar een positieve integer oplossing kan het eenvoudiger. Doordat we weten dat w*(l-1)= 150 weten we dat w en l-1 uit de priemfactoren opgebouwd zijn van 150 = 2*3*5*5
Als w >= 19 is w(w-1) >= 342 > 320 en dus zal het onmogelijk zijn om in de 1e vgl nog een oplossing te bereiken. Idem geldt voor l en dus ook voor l-1
5*5 > 19 dus kan 5*5 niet een factor zijn van l-1 of w. De 2 priemfactoren 5 moeten dus verdeeld zijn. Dus w = 5*a en l = 5*b.
Nu zijn er meerdere mogelijkheden:
a=2*3 en b=1
of a=1 en b=2*3
of a=2 en b=3
of a=3 en b=2
De eerste 2 van de mogelijkheden gaan niet want 2*3*5>19. Dus w = 15 en l = 11 of w = 10 en l = 16. Deze kunnen we testen door hen intervullen in de 1e vgl en voor de w=15 en l=11 komt het uit.
Het aantal leugenaars is 11
Stel dat w het aantal leerlingen is dat de waarheid spreekt en l het aantal leugenaars. Dan geldt volgens het gegeven: w*(w-1)+l*(l-1)=320 en 2*w*(l-1)=300
Trek de tweede vergelijking lid aan lid af van de eerste om te krijgen:
w²-w+l²-l-2wl+2w=320-300
<=> w²-2wl+l²+w-l=20
<=> (w-l)²+(w-l)-20=0
De oplossingen van deze vkv zijn: w-l=4 en w-l=-5
Dan geldt w=l+4 of w=l-5
Voer deze substitutie door in de tweede vergelijking van de twee vergelijkingen bovenaan en merk op dat deze enkel een natuurlijk getal als uitkomst voor l heeft wanneer w=l+4
Het aantal leugenaars moet immers een natuurlijk getal zijn.
Dan geldt: 2(l+4)(l-1)=300
<=> l²+3l-154=0
Dit geeft 11 en -14 als oplossingen.
Enkel 11 is een natuurlijk getal en dus zijn er 11 leugenaars.