gelijke rest
Opgave - VWO 2014 dag 1 vraag 4
Zij $P(x)$ een veelterm van graad $5$ en stel dat $a$ en $b$ reële getallen zijn verschillend van nul. Veronderstel dat de rest bij deling van$P(x)$ door $x^3+ax+b$ gelijk is aan de rest bij deling van $P(x)$ door $x^3+ax^2+b$. Bepaal dan $a+b$.
- login om te reageren
Oplossing
We schrijven $P(x)=Q(x)(x^3+ax+b)+r(x)=q(x)(x^3+ax^2+b)+r(x)$.
Merk op dat $P(1)=Q(1)(1+a+b)+r(1)=q(1)(1+a+b)+r(1) \Leftrightarrow Q(1)(1+a+b)=q(1)(1+a+b)$. Veronderstel $a+b+1 \neq 0$. Dan volgt hieruit dat $Q(1)=q(1)$.
Zij $Q(x)=a_1 x^2+a_2 x+a_3$ en $q(x)=b_1 x^2+b_2 x+b_3$. Omdat $Q(x)(x^3+ax+b)=q(x)(x^3+a x^2+b)$, moet $a_1=b_1$ en $a_3=b_3$, aangezien de term bij $x^5$ in resp. het LL en RL $a_1$ en $b_1$ is en de constante term resp. in het LL en RL $a_3 b$ en $b_3 b$ (en $b$ is niet nul). Uit $Q(1)=q(1)$ volgt nu ook dat $a_2=b_2$, dus $q(x)=Q(x)$. Maar dan $x^3+ax^2+b=x^3+ax+b$, wat duidelijk niet waar is. Er geldt dus $a+b+1=0$ zodat $a+b=-1$. Q.E.D.
Stel $P(x) = (x^3+ax+b)\cdot Q(x) + R(x) = (x^3+ax^2+b)\cdot Q'(x) + R(x)$, met $\deg R(x)<3$.
Dan is $(x^3+ax+b)\cdot Q(x) = P(x)-R(x) = (x^3+ax^2+b)\cdot Q'(x)$.
Aangezien $\deg Q(x) = \deg Q'(x) = 2$, hebben $(x^3+ax+b)$ en $(x^3+ax^2+b)$ exact 3 (al dan niet complexe) wortels en $Q(x)$ en $Q'(x)$ 2. Daaruit volgt dat $(x^3+ax+b)$ en $(x^3+ax^2+b)$ minstens 1 wortel gemeenschappelijk hebben.
Er bestaat dus een (al dan niet complex) getal $\alpha$ waarvoor $0=\alpha^3+a\alpha+b=\alpha^3+a\alpha^2+b$.
Uit de 2de gelijkheid volgt dat $a\alpha=a\alpha^2$.
En aangezien $a\neq0$, is $\alpha=0$ of $\alpha=1$.
Stel dat $\alpha=0$. Dan is $0=b$. Een contradictie!
Bijgevolg is $\alpha=1$ en dus is $0=1^3+a+b\Leftrightarrow a+b=-1$.