wat zou middelbaar zijn zonder meetkunde

Tags:

Opgave - VWO 2014 dag 1 vraag 3

Zij $ PQRS$ een vierhoek met $|PQ|=|QR|=|RS|, \angle{Q}=110^{\circ}$ en $ \angle{R}=130^{\circ}$. Bepaal $\angle{P} $ en$ \angle{S}$.

Oplossing

Noem $\Gamma _Q$ de cirkel rond Q met straal $|QR|$. Noem $\Gamma_R$ de cirkel rond R met straal $|QR|$. Merk op dat R en Q respectievelijk op $\Gamma _Q$ en $\Gamma _R$ liggen. Noem A het snijpunt van $\Gamma _Q$ en $\Gamma _R$ aan de kant van $PS$. Hieruit volgt dat $|AQ| = |AR| = |QR|$. Dus is $\triangle AQR$ gelijkzijdig.

In $\triangle QPA$ is $|QP| = |QA|$ en $\angle{Q}=110^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$. Dus $\angle P + \angle A + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
Dus $2* \angle A = 130^{\circ}$ Dus $\angle PAQ = 65^{\circ}$

Analoog kunnen we berekenen dat $\angle RAS = 55^{\circ}$

Merk op dat $\angle PAQ + \angle RAS + \angle RAQ = 55^{\circ}+65^{\circ}+60^{\circ} = 180^{\circ}$
Hieruit volgt dat $PA$ in het verlengde van $AS$ ligt en dus dat $A$ op $[PS]$ ligt. Hieruit volgt dat $\angle QPS = \angle QPA = \angle PAQ = 65^{\circ}$ en dat $\angle RSP = \angle RSA = \angle RAS = 55^{\circ}$

Noem het snijpunt van de diagonalen van de vierhoek T. Daar $\triangle PQR$ en $\triangle QRS$ gelijkbenige driehoeken zijn, weten we dat $\angle QPR = \angle QRP = 35^{\circ}$, $RQS =\angle RSQ = 25$° en dus ook dat $\angle PQS = 85$°, $\angle PRS = 95$°, $PTQ = RTS = 60$° en $\angle QTR = \angle PTS = 120$°.
Door de sinusregel in resp. driehoek PQS en PRS weten we dat $\frac{|PQ|}{ sin PSQ }= \frac{|PS|}{ sin PQS } $
en $\frac{|RS|}{ sin RPS } = \frac{|PS|}{ sin PRS}$. Gegeven was $|PQ|=|RS|.$
Dus $|PS| = \frac{\sin{ PQS} |PQ|}{ sin PSQ }= \frac{ sin PRS |PQ|}{ sin RPS } \Rightarrow \sin{PSQ} = \sin RPS \frac{ sin 85° }{ sin95°}$
Omdat $85^{\circ}$ en $95^{\circ}$ supplementaire hoeken zijn, volgt dat $ \sin PSQ = \sin RPS $.
In driehoek $PTS$ zien we dat $PSQ + RPS = 60°. $
Deze twee hoeken kunnen niet supplementair zijn (sin x = sin y kan dit impliceren), dus moeten ze wel gelijk zijn: $\hat{PSQ} = \hat {RPS}= 30$°.
We concluderen dat $\angle P = QPR + RPS = 35° + 30° = 65°$ en $\angle S = RSQ + QSP = 25° + 30° = 55°.$