VWO 2003

Vraag 1 Opgelost!

Ronny, Steven en Tom spelen voetbal met drie. Dit gaat als volgt: twee velderspelers proberen te scoren bij de doelman, en wie daarin slaagt staat het volgende spel doelman. Na afloop heeft Ronny $12$ maal veldspeler gestaan, Steven $21$ maal, en Tom stond $8$ keer doelman. Wie scoorde het zesde doelpunt?

Vraag 2 Opgelost!

Twee cikels $C_1$ en $C_2$ snijden elkaar in het punt $S$. De raaklijn in $S$ aan $C_1$ snijdt $C_2$ in $A(\not= S)$ en die in $S$ aan $C_2$ snijdt $C_1$ in $B(\not= S)$. Een derde cirkel $C_3$ gaat door $A$, $B$ en $S$. De raaklijn $S$ aan $C_3$ snijdt $C_1$ in $P(\not= S)$ en $C_2$ in $Q(\not= S)$. Bewijs dat:
$$|PS|=|QS|.$$

Vraag 3 Opgelost!

Een getal bestaat uit $3$ cijfers. De som van de $5$ andere getallen met die $3$ verschillende cijfers is $2003$. Wat is dat getal?

Vraag 4 Opgelost!

In het vlak beschouwt men het rooster van alle punten met gehele coördinaatgetallen. Indien met een getal $r$ goed kiest gaat de cirkel met middelpunt $(0,0)$ en met straal $r$ door een aantal roosterpunten. (bv. de cirkel met $r=2\sqrt2$ gaat door 4 punten). Bewijs dat er voor elke $n\in \mathbb{N}$ een $r\in\mathbb{R}$ bestaat, zo dat de cirkel met straal $r$ en middelpunt $(0,0)$ door minstens $n$ roosterpunten gaat.