cirkels
Opgave - VWO 2003 vraag 2
Twee cikels $C_1$ en $C_2$ snijden elkaar in het punt $S$. De raaklijn in $S$ aan $C_1$ snijdt $C_2$ in $A(\not= S)$ en die in $S$ aan $C_2$ snijdt $C_1$ in $B(\not= S)$. Een derde cirkel $C_3$ gaat door $A$, $B$ en $S$. De raaklijn $S$ aan $C_3$ snijdt $C_1$ in $P(\not= S)$ en $C_2$ in $Q(\not= S)$. Bewijs dat:
$$|PS|=|QS|.$$
- login om te reageren
Oplossing
Veronderstel dat één van de rechten $QA$ en $PB$ een tweede snijpunt heeft met $C_3$.
Stel dus dat $D$ het tweede snijpunt is van $QA$ met $C_3$.
Neem eerst dat $D$ tussen $Q$ en $A$ ligt.
Nu is $\angle BDA=\angle BSA$ want het zijn omtrekshoeken op dezelfde boog.
$\angle BSA=\angle SQA$ (raakomtrekshoek).
Dus $\angle BDA=\angle SQA$ dus $PQ$ en $BD$ zijn evenwijdig.
(Als $D$ niet tussen $Q$ en $A$ ligt, dan is $\angle BDA+\angle BSA=180^\circ$, en opnieuw zijn $PQ$ en $BD$ evenwijding).
Er geldt ook dat $\angle BSA=\angle BPS$ (raakomtrekshoek), dus $\angle BPS=\angle SQA$ zodat $PQDB$ een gelijkbenig trapezium is.
Zij $O$ het middelpunt van $C_3$.
$OS$ staat loodrecht op $PQ$, maar omdat $OS$ de middelloodlijn is van $[BD]$ is het dus ook de middelloodlijn van $[PQ]$, dus $|QS|=|PS|$.
Indien er geen tweede snijpunt is , betekent dit dat zowel $PB, QA$ raaklijnen zijn
aan $C_3$.
We schrijven dit geval uit voor de duidelijkheid om de analogie niet blindelings te volgen:
$\angle BPS = \angle BSA = \angle SQA$ blijft gelden wegens het lemma van de raakomtrekhoek.
$\angle BAQ= 180^{\circ}- \angle BSA$ terug als raakomtrekshoek en analoog gelijk aan
$\angle PBA$
Dit betekent dat $PBAQ$ een gelijkbenig trapezium is, met $|PS|=|BP|=|AQ|=|QS|.$
Samen betekent dit dat $|PS|=|QS|$ altijd geldt.
Er geldt dat $G=\angle QSA=\angle ABS$ (want raakomtrekshoek = omtrekshoek in $C_3$), analoog $R=\angle BSP = \angle BAS$ en $B=\angle ASB = \angle AQS=\angle BPS$
, dus geldt ook $R=\angle QAS$ en $G=\angle PBS$.
Verder geldt (sinusregel in $\triangle AQS, \triangle BPS$): $|QS|=\frac{|AS| \cdot \sin{R}}{\sin{B}}$, $|PS|=\frac{|BS| \cdot \sin{G}}{\sin{B}}$, dus $|QS|=|PS| \Leftrightarrow |AS| \cdot \sin{R}=|BS| \cdot \sin{G} \Leftrightarrow \frac{|AS|}{\sin{G}}=\frac{|BS|}{\sin{R}}$ wat waar is wegens de sinusregel in $\triangle ABS$.
∠ABS=∠QSA=180°-∠ASP=∠SBP (raakomtrekshoek - omtrekschoek op respectievelijk C3 en C1).
Analoog is ∠SAB=∠BSP=∠QAS.
Dit impliceert dat driehoeken AQS, ABS en BPS gelijkvormig zijn, waardoor o.a. geldt dat:
|AS|/|BS| = |QS|/|BP| en |BS|/|BP| = |AS|/|PS|
Hieruit volgt direct dat |QS| = |PS|.