VWO 2001

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat, voor elk natuurlijk getal $n>1$ geldt: $(n-1)^2 | n^{n-1}-1$.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven een driehoek die in 4 stukken verdeeld is, met gegeven oppervlaktes. Bepaal de vierde oppervlakte.

Vraag 3 Opgelost!

Een regelmatige $2001$-hoek en een regelmatige $667$-hoek zijn ingeschreven in een eenheidscirkel zodat ieder hoekpunt van de tweede ook een hoekpunt van de eerste is. Bewijs dat het verschil in oppervlakte van de 2 veelhoeken gegeven wordt door $$k\sin^3\frac{\pi}{2001}\cos^3\frac{\pi}{2001}$$ en bepaal $k$.

Vraag 4 Opgelost!

Een student lost kwadratische vergelijkingen op in $\mathbb{R}$. Hij start met $x^2+ax+b=0$, met $a,b\in\mathbb{R}_0$. met de 2 oplossingen (als ze bestaan) $p\le q$ vormt hij een tweede vergelijking: $x^2+px+q=0$. Zo gaat hij door. Bewijs dat hij nooit meer dan 5 vergelijkingen ver raakt. (inclusief de startvergelijking)