vierkantsvergelijkingen

Opgave - VWO 2001 vraag 4

Een student lost kwadratische vergelijkingen op in $\mathbb{R}$. Hij start met $x^2+ax+b=0$, met $a,b\in\mathbb{R}_0$. met de 2 oplossingen (als ze bestaan) $p\le q$ vormt hij een tweede vergelijking: $x^2+px+q=0$. Zo gaat hij door. Bewijs dat hij nooit meer dan 5 vergelijkingen ver raakt. (inclusief de startvergelijking)

Oplossing

Noem voor de gemakkelijkheid $a_i$ en $b_i$ de coëfficiënten van de $i$-de vergelijking. Dan hebben we volgens Vieta's formules:
$a_i=-(a_{i+1}+b_{i+1})$
$b_i=a_{i+1}b_{i+1}$
En voor alle $i\ge 2$: $a_i\le b_i$
Stel dat er een zesde vergelijking met coëfficiënten $a_6$ en $b_6$ bestaat.
Welnu:
$b_2-a_2=a_3b_3+a_3+b_3=-(a_4+b_4)a_4b_4-a_4-b_4+a_4b_4$
$=-(a_4(b_4-1)^2+b_4(a_4-1)^2+3a_4b_4)$
Stel $a_4\ge 0$, dan is ook $b_4\ge 0$, en dan is $LL\le 0$, terwijl $b_2\ge a_2 \Leftrightarrow b_2-a_2\ge 0$ wat duidelijk niet kan. Dus $a_4\le 0$. Analoog verkrijgen we dat $a_5,a_6\le 0$.

We weten dat $a_4=-(a_5+b_5) \Leftrightarrow a_4+a_5=-b_5$ dus $b_5$ ( en $b_6$) zijn positief. Maar we weten ook dat $b_5=a_6b_6$ dus $b_5$ is negatief. Omdat het negatief en positief tegelijk is, is $b_5=0$, maar dan is ook $b_4,b_3,b_2,b_1$ gelijk aan $0$. Maar in het gegeven stond dat $a_1,b_1 \not= 0$.
EEN CONTRADICTIE!