regelmatige 2001-hoek

Opgave - VWO 2001 vraag 3

Een regelmatige $2001$-hoek en een regelmatige $667$-hoek zijn ingeschreven in een eenheidscirkel zodat ieder hoekpunt van de tweede ook een hoekpunt van de eerste is. Bewijs dat het verschil in oppervlakte van de 2 veelhoeken gegeven wordt door $$k\sin^3\frac{\pi}{2001}\cos^3\frac{\pi}{2001}$$ en bepaal $k$.

Oplossing

De oppervlakte van de regelmatige 2001-hoek kunnen we schrijven als 2001 keer de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek met als basis een zijde van de 2001-hoek en als tophoek het middelpunt van de cirkel. De middelpuntshoek op een zijde van een regelmatige $n$-hoek is $\frac{2\pi}{n}$. Stel $\alpha=\frac{\pi}{2001}$, dan is $A_{2001-hoek}= 2001\cdot \frac{1\cdot 1\cdot \sin 2\alpha }{2}= 2001\cdot \frac{\sin 2\alpha }{2}$. Analoog vinden we $A_{667-hoek}= 667\cdot \frac{\sin 6\alpha }{2}$.
\begin{align*}
A_{2001-hoek}-A_{667-hoek}& =2001\cdot \frac{\sin 2\alpha }{2}-667\cdot \frac{\sin 6\alpha }{2}\\
& =2001\cdot \frac{\sin 2\alpha}{2}-667\cdot \frac{\sin 2\alpha\left (3-4\sin^2 2\alpha \right ) }{2}\\
& =667\cdot \frac{\sin 2\alpha }{2}\left (3-3+4\sin^2 2\alpha \right )\\
& =667\cdot \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2}\left (4\cdot 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha \right )\\
& =10672\sin^3\frac{\pi}{2001}\cos ^3\frac{\pi}{2001}
\end{align*}
Dus $k=10672$.
Opmerking: \begin{align*}
\sin 3\alpha & =\sin\alpha \cos 2\alpha +\cos\alpha \sin 2\alpha \\
& =\sin\alpha \left (1-2\sin^2\alpha\right )+\cos\alpha \cdot 2\sin \alpha\cos \alpha\\
& =\sin\alpha \left (1-2\sin^2\alpha\right )+2\sin \alpha\left (1-\sin^2\alpha \right )\\
& =\sin\alpha \left (3-4\sin^2 \alpha \right )
\end{align*}