VWO 2000

Vraag 1 Opgelost!

Een natuurlijk getal van 7 verschillende cijfers is deelbaar door elk van zijn cijfers. Welke cijfers kunnen niet in dat getal voorkomen?

Vraag 2 Opgelost!

Beschouw twee driehoeken zodat de drie zijden van de tweede driehoek evenlang zijn als de drie zwaartelijnen van de eerste driehoek. Hoe verhouden zich de oppervlakten van deze driehoeken?

Vraag 3 Opgelost!

Noteer $p_n$ het $n$-de priemgetal ($p_1=2$). De rij $f_j$ wordt als volgt bepaald:
- $f_1=1,f_2=2$.
- $\forall j\ge2$: als $f_j=kp_n$ met $k < p_n$ ($k\in\mathbb{N}$) dan $f_{j+1}=(k+1)p_n$.
- $\forall j\ge2$: als $f_j=p_n^2$ dan is $f_{j+1}=p_{n+1}$.

(a) Bewijs dat alle elementen van de rij $(f_j)$ verschillend zijn.
(b) Waar in de rij treedt het laatste getal met minder dan 3 cijfers op?
(c) Beschrijf de getallen die niet in de rij voorkomen.
(d) Hoeveel getallen met minder dan 3 cijfers komen in de rij voor?

Vraag 4 Opgelost!

Voor welke getallen $x\in [0,2\pi[$ geldt: $\sin x < \cos x < \tan x < \cot x$?