verhouding

Vertrek van driehoek $ABC$ en beschouw het parallellogram $ABCD$.
Zij $E$ het midden van $[AB]$, $F$ van $[BC]$, $G$ van $[AC]$ en $H$ van $[CD]$.
Dan zijn driehoeken $EAC$ en $HCA$ congruent, zodat $|CE|=|HA|$.
Ook driehoeken $BGF$ en $FHC$ zodat $|BG|=|FH|$.
Bijgevolg heeft driehoek $AFH$ de lengtes van de zwaartelijnen van $ABC$ als zijdelengtes.

Stel de oppervlakte van het parallellogram gelijk aan $2$. Dus de oppervlakte van $ABC$ is $1$.
Driehoeken $HFC$ en $DBC$ zijn gelijkvormig met factor $2$, dus de oppervlakte van $HFC$ is $\frac14$.
De oppervlakte van $ABF$ en $AHD$ zijn telkens $\frac12$.
Dus de oppervlakte van $AFH$ is $2-\frac14-\frac12-\frac12=\frac34$.
Dus de tweede driehoek heeft een oppervlakte die $\frac34$ is van die van de eerste driehoek.
We besuiten dat de verhouding altijd $\frac34$ is.