trigonometrie

Opgave - VWO 2000 vraag 4

Voor welke getallen $x\in [0,2\pi[$ geldt: $\sin x < \cos x < \tan x < \cot x$?

Oplossing

(2 keer gelijkaardige oplossing)

We beschouwen de verschillende uitdrukkingen in de ongelijkheid:
$\sin x < \cos x$ geldt voor $x \in [0,\frac{\pi}{4}[ \cup ]\frac{5\pi}{4},0]$
$\tan x < \cot x$ geldt als $0<\tan x<1$ of $\tan x <-1$, dus indien $x \in ]0,\frac{\pi}{4}[\cup]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}[\cup]\pi,\frac{5\pi}{4}[\cup]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}[$

We kunnen de mogelijke waarden van $x$ dus al verscherpen tot $x \in ]0,\frac{\pi}{4}[ \cup ]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}[$, waarbij we opmerken dat $\cos x$ voor al deze waarden positief en niet $0$ is.

We moeten nu dus nog bekijken wanneer $\cos x < \tan x$.
Door de eerder vermeldde eigenschappen van $\cos x$ kunnen we dit ook schrijven als
$\cos^2x < \sin x$
$1 - \sin^2x < \sin x$
$1 - \sin^2x - \sin x < 0$

De oplossing van deze ongelijkheid is $\sin x \not\in [\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}]$

Als we dit domein weglaten uit onze eerdere mogelijke $x$-waarden, verkrijgen we onze oplossingen, namelijk $ x \in \left]\arcsin\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right), \frac{\pi}{4}\right[$.

(2 keer gelijkaardige oplossing)
$\sin x<\cos x$ geldt als $x \in [0,\frac{\pi}{4}[\cup]\frac{5\pi}{4},2\pi]$
$\tan x<\cos x$ geldt als $x \in ]0,\frac{\pi}{4}[\cup]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}[\cup]\pi,\frac{5\pi}{4}[\cup]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}[$
Dit is gemakkelijk te berekenen, maar het snelste kan je het zien met een goede tekening. De twee eisen samen levert $x\in ]0,\frac{\pi}{4}[\cup]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}[$
We eisen nu (en dit volstaat) dat $\cos x< \tan x$. Maar als $x\in ]\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}[$, dan is $\tan x <-1\le \cos x$ wat nooit kan. Bijgevolg speelt alles zich af bij $]0,\frac{\pi}{4}[$. Welnu:
$\cos x < \tan x= \frac{\sin x}{\cos x}$
$\Leftrightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x< \sin x$ en dit mag want $\cos x>0$
$\Leftrightarrow \sin^2 x+\sin x-1>0$
$\Leftrightarrow \sin x < \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ofwel $\sin x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ maar het eerste kan nooit voldoen aangezien we in het interval geen negatieve waarden hebben. Aangezien $\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{\sqrt{5}-1}{2}$, concluderen we dat $x\in ]\arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right),\frac{\pi}{4}[$