VWO 1999

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle getallen $\overline{abcdef}$ van $6$ cijfers, zodat $\overline{def}^2 = \overline{abcdef}$. (hierbij stelt $\overline{x_1x_2...x_n}$ een getal van $n$ cijfers voor, geen vermenigvuldiging)

Vraag 2 Opgelost!

Zij $[mn]$ een diameter van een cirkel met gegeven straal en $[ab]$ een koorde met gegeven (vaste) lengte op die cirkel. Onderstel dat $[ab]$ niet samenvalt noch loodrecht staat op $[mn]$. Zij $p$ het middelpunt van $[ab]$ en zij $c,d$ de orthogonale projecties van $a,b$ op $[mn]$. Bewijs dat de hoek $\angle cpd$ onafhankelijk is van de positie van de koorde $[ab]$.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle functies $f$ en $g$ ($\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$) zodat $\forall x,y$ $$2\cdot f(x) - g(x) = f(y)-y,$$ $$f(x)\cdot g(x) \geq x+1.$$

Vraag 4 Opgelost!

Zij $a,b,m,n \in \mathbb{N}$, alle verschillend van $0$ of $1$. Als $a^n-1$ en $b^m+1$ priemgetallen zijn, geef dan zoveel mogelijk informatie over $a,b,m,n$.