priemen

Opgave - VWO 1999 vraag 4

Zij $a,b,m,n \in \mathbb{N}$, alle verschillend van $0$ of $1$. Als $a^n-1$ en $b^m+1$ priemgetallen zijn, geef dan zoveel mogelijk informatie over $a,b,m,n$.

Oplossing

(a) $a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+\dots +a+1)$ en $a-1\le a^{n-1}+\dots +a+1$. De tweede term is zeker niet gelijk aan $1$, dat zou immers in strijd zijn met ons gegeven dat $n\not=1$. Dus aangezien het een priemgetal is, is $a-1=1$ oftewel $a=2$. Stel dat $n$ geen priemgetal is, dus er bestaan twee getallen $c$ en $d$ groter als $1$ met $n=cd$. Welnu:
$2^n-1=(2^c)^d-1=(2^c-1)(\dots)$
Beide termen zijn groter dan $1$, dus geen priemgetal. Hieruit concluderen we dat de getallen van de vorm $2^p-1$ zijn.
Merk tot slot op dat niet elk getal van de vorm $2^p-1$ een priemgetal is (voorbeeld $2^{11}-1=23*89$)

(b) stel $m=(2^c)d$ met $d$ groter dan $1$ en $d$ oneven zodat $c$ alle factoren van $2$ bevat. Welnu:
$b^m+1=(b^{(2^c)})^d+1=(b^{(2^c)}+1)(\dots)$ met beide niet gelijk aan $1$, wat betekent dat het geen priemgetal is. Bijgevolg moet $d=1$ en is $m$ een macht van $2$. Verder kunnen we nog triviaal opmerken dat $b$ even is.