functievergelijking

Stel $x=y$, dan volgt uit de eerste voorwaarde dat $g(x)-f(x)=x$. Bijgevolg is $f(y)-y = 2f(x)-g(x) = f(x)-x$. Hieruit volgt natuurlijk dat $f(x)-x$ constant is (hou $y$ constant en laat $x$ variëren bijvoorbeeld), zodat $f(x)=x+c$ met $c\in\mathbb{R}$. Hieruit volgt dat $g(x)=2x+c$.

Er geldt dat $x+1\leq f(x)g(x) = (x+c)(2x+c) = 2x^2+3cx+c^2$, dus $2x^2+(3c-1)x+c^2-1 \geq 0$. Dit is een kwadratische in $x$. Opdat deze ongelijkheid zou gelden voor alle reële $x$ mag de discriminant niet strikt positief zijn. Dit betekent dat $0 \geq \Delta = (3c-1)^2 - 8(c^2-1) = (c-3)^2$, zodat $c=3$. En we zijn klaar: $f(x)=x+3$ en $g(x)=2x+3$.