koorde
Opgave - VWO 1999 vraag 2
Zij $[mn]$ een diameter van een cirkel met gegeven straal en $[ab]$ een koorde met gegeven (vaste) lengte op die cirkel. Onderstel dat $[ab]$ niet samenvalt noch loodrecht staat op $[mn]$. Zij $p$ het middelpunt van $[ab]$ en zij $c,d$ de orthogonale projecties van $a,b$ op $[mn]$. Bewijs dat de hoek $\angle cpd$ onafhankelijk is van de positie van de koorde $[ab]$.
- login om te reageren
Oplossing
Noem $o$ het middelpunt van de cirkel. Dan is $\angle apo = 90°$ omdat de middelloodlijn van een koorde door het middelpunt van de cirkel gaat. Dus zijn de vierhoeken $apoc$ en $bpod$ koordenvierhoeken wegens $\angle aco+\angle opa=180°$ en $\angle bdo+\angle opb=180°$. Een beetje angle chasing geeft:
\begin{align*}
\angle cpd & =180°-\angle cpa - \angle dpb\\
& =180°-\angle coa -\angle dob \text{ (omtrekshoeken)}\\
& =\angle aob
\end{align*}
Omdat $\angle aob$ een middelpuntshoek op $[ab]$ en $|ab|$ onveranderd blijft de grote van de hoek hetzelfde bij om het even welke positie van $[ab]$.