VWO 1996

Vraag 1 Opgelost!

Zij $\triangle abc$ en $\triangle dac$ twee gelijkbenige driehoeken, de eerste met tophoek $\hat a=20^\circ$, de tweede met tophoek $\hat d=100^\circ$. Toon aan dat $|ab|=|bc|+|cd|$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal de grootste gemene deler van alle getallen van de vorm $p^8-1$, met $p>5$ een priemgetal.

Vraag 3 Opgelost!

Beschouw punten $1,\frac12,\frac13,\frac14,...$ op de reële getallenas. Bepaal de kleinste waarde van $k \in \mathbb{R}$ zodat al deze punten kunnen overlapt worden met 5 gesloten intervallen van lengte $k$.

Vraag 4 Opgelost!

(a) Zij $p(x)$ een veelterm van graad minstens 2. Toon aan dat $$\deg(p(x))=2+\deg(p(x+1)+p(x-1)-2p(x)).$$
(b) Zij $p(x)$ een veelterm waarvoor er reële constanten $r,s$ bestaan zodat $$p(x+1)+p(x-1)-rp(x)-s=0.$$ Bewijs $p(x)$ hoogstens van graad 2 is.
(c) Toon aan dat in het voorgaande geval $a=0$ als $s=0$.