intervallen

Het antwoord is $k = \frac{1}{10}$.

Bewijs.

Stel $k < \frac{1}{12}$. Dan zijn minstens $4$ $k$-intervallen nodig om $\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}$ te overlappen, aangezien geen twee punten hieruit in zo een interval passen. Om de overige punten $\left\{\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots\right\}$ te overlappen met de overblijvende $5-4=1$ $k$-intervallen moet echter $k\geq \frac{1}{5}$, een contradictie.

Dus $k \geq \frac{1}{12}$.
Aangezien nu $3$ $k$-intervallen volstaan om $\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}$ of meer te overlappen, hebben we voldoende aan $2k \leq \frac{1}{5}$ om met de $5-3=2$ overblijvende intervallen $\left\{\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots\right\}$ of minder te overlappen.
In dat geval is het echter onmogelijk om met $3$ $k$-intervallen meer dan $\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}$ te overlappen, en moeten we dus met $5-3=2$ intervallen $\left\{\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots\right\}$ overlappen.

Het punt $\frac{1}{10}$ moet in één van deze twee intervallen zitten, en in dat interval moet ook ofwel $0$ ofwel $\frac{1}{5}$ zitten, en dus moet $k\geq \frac{1}{10}$.
$k = \frac{1}{10}$ voldoet duidelijk.