grootste gemene deler

Opgave - VWO 1996 vraag 2

Bepaal de grootste gemene deler van alle getallen van de vorm $p^8-1$, met $p>5$ een priemgetal.

Oplossing

We hebben $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ aangezien $ggd(p,5)=1$ volgens de kleine stelling van Fermat, analoog hebben we $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Aangezien $p$ oneven is zijn zowel $p^4 +1$, $p^2 +1$, $p-1$ als $p+1$ even, bovendien moet één van de laatste twee zeker een viervoud zijn (omdat ze $2$ verschillen).

Het product van deze vier is dus zeker een $2^5$-voud en dat product is precies $$p^8 -1 = (p^4+1)(p^4-1)=(p^4+1)(p^2+1)(p^2-1)=(p^4+1)(p^2+1)(p+1)(p-1)$$ dus is dit wegens het voorgaande deelbaar door zowel $2^5$, $3$ als $5$. Aangezien deze drie getallen relatief priem zijn, is $p^8-1$ altijd een veelvoud van hun product, dus altijd een $480$-voud.

Dat $480$ de grootste factor is kun je zien doordat $7^8-1= 480\cdot (2\cdot 5\cdot 1201)$ en $11^8 -1= 480\cdot (61\cdot 7321)$ geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben. Het antwoord is dus zeker $480$.