VWO 1994

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c>0$ de zijdelengtes van een rechthoekige driehoek met schuine zijde $a$. Bepaal alle $x\in\mathbb{R}$ waarvoor $a^x>b^x+c^x$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle oplossingen $a,b,c \in \mathbb{N}$ met $c\leq94$ van:
$$(a+\sqrt c)^2 + (b+\sqrt c)^2 = 60 + 20\sqrt c.$$

Vraag 3 Opgelost!

Twee regelmatige viervlakken $A,B$ zijn bevat in een eenheidskubus. $A$ heeft zijn vierhoekpunten in de hoekpunten van de kubus, $B$ heeft de andere 4 hoekpunten. Bepaal het volume van $A\cup B$.

Vraag 4 Opgelost!

Beschouw de rij (reële) functies $f_n$ gegeven door $f_1(x)=x$, $f_n(x)=\sqrt{f_{n-1}(x)}-\frac14$.
(a) Bewijs dat $f_n(x)\le f_{n-1}(x)$ voor alle x. (waar beide functies bestaan)
(b) Bepaal voor iedere $n\in\mathbb{N}_0$ de punten $x$ die tot het domein van $f_n$ horen en waarvoor $f_n(x)=x$.