ongelijkheid
Opgave - VWO 1994 vraag 1
Zij $a,b,c>0$ de zijdelengtes van een rechthoekige driehoek met schuine zijde $a$. Bepaal alle $x\in\mathbb{R}$ waarvoor $a^x>b^x+c^x$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
Dankzij de driehoeksongelijkheid weten we dat $a < b+c$.
Door de stelling van pythagoras weten we dat $a^2=b^2+c^2$
De vraag komt overeen met het vinden van alle $x \in R$ zodat $ (\frac ba)^x+(\frac ca)^x < 1$
Merk op dat
$ 0<\frac ba <1$ en $0< \frac ca<1$, voor $r$ tussen $0$ en $1$ is $f$:$ R \to R x \mapsto r^x$ een strikt dalende functie.
De som van $2$ strikt dalende functies is strikt dalend, zodat ook $ (\frac ba)^x+(\frac ca)^x $ een dalende functie was, die in $x=2$ de functiewaarde $1$ bereikte.
Conclusie:
De oplossing van de ongelijkheid is dus $x>2$.