functierij

Opgave - VWO 1994 vraag 4

Beschouw de rij (reële) functies $f_n$ gegeven door $f_1(x)=x$, $f_n(x)=\sqrt{f_{n-1}(x)}-\frac14$.
(a) Bewijs dat $f_n(x)\le f_{n-1}(x)$ voor alle x. (waar beide functies bestaan)
(b) Bepaal voor iedere $n\in\mathbb{N}_0$ de punten $x$ die tot het domein van $f_n$ horen en waarvoor $f_n(x)=x$.

Oplossing

$(a)$ Kies een natuurlijk getal $n$ en kies een $x$ waarvoor zowel $f_n$ als $f_{n-1}$ bestaan. Noteer $t= f_{n-1} (x)$. Uit $ 16 \cdot \left(t - \frac{1}{4} \right)^{2} \geq 0$ volgt dat $16 t \leq (4t + 1)^{2}$. En omdat $t>0$ geldt ook $\sqrt{t} - \frac{1}{4} \leq t$. Dus is $f_{n} (x) = \sqrt{f_{n-1} (x)} - \frac{1}{4} = \sqrt{t} - \frac{1}{4} \leq t = f_{n-1} (x).$ QED
$(b)$ Kies een natuurlijk getal $n$. Duidelijk moet zo'n vast punt $x_0$ van $f_n$ een gemeenschappelijk punt zijn van alle $f_i$ met $i \in \{1, \ldots, n-1\}$ zijn - dit is wegens $(a)$. Dan moet dus $x_0 = \sqrt{x_0} - \frac{1}{4}$. Maar $ \left( \sqrt{x_0} - \frac{1}{2} \right)^{2} \geq 0$ met gelijkheid als en slechts als $x_0 = \frac{1}{4}$ geeft ons dat $x=\frac{1}{4}$ het enige vast punt van $f_n$ is. QED