diophantische vergelijking

Opgave - VWO 1994 vraag 2

Bepaal alle oplossingen $a,b,c \in \mathbb{N}$ met $c\leq94$ van:
$$(a+\sqrt c)^2 + (b+\sqrt c)^2 = 60 + 20\sqrt c.$$

Oplossing

$(a+\sqrt c)^2 + (b+\sqrt c)^2 = (a^2+b^2+2c)+2(a+b)\sqrt c$
Stel eerst dat $c$ geen volkomen kwadraat is.
Omdat $\sqrt c$ irrationaal is, moet $a^2+b^2+2c=60$ en $2a+2b=20$ of dus $a+b=10$. (dit is niet eenduidig in de omgekeerde richting, aangezien $sqrt{c}$ natuurlijk mag zijn en dit kan gelden, maar niet moet).
Als je dat laatste kwadrateert heb je $a^2+b^2=100-2ab$ terwijl ook $a^2+b^2=60-2c$, dus $100-2ab=60-2c$ of $ab-c=20$. Aangezien $a+b=10$ kan $ab$ alleen $0,9,16,21,24,25$ zijn, en dan komen enkel $21$, $24$ en $25$ in aanmerking.
De oplossingen zijn dus $a=3$, $b=7$, $c=1$ en $a=4$, $b=6$, $c=4$ en $a=5$, $b=5$, $c=5$. (of $a$ en $b$ omwisselen)
Stel dat $c$ wel een kwadraat is, dan is $c\in\left\{0,1,4,9,16,25,36,49,64,81\right\}$.
$1$ en $4$ hebben we daarnet al gehad (het is analoog aan de volgende gevallen te controleren dat er geen andere oplossingen meer zijn).
Wegens de tweekwadratenstelling moeten in $60+20\sqrt c=2^2*5*(3+\sqrt c)$ alle priemfactoren van de vorm $4k+3$ tot een even macht voorkomen.
De 2kwadratenstelling zet: "Een positief getal n is de som van twee kwadraten als en slechts als alle priemfactoren van de vorm 4k+3 tot een even macht voorkomen in n."
(Tevens geldt dat ieder priemgetal $\equiv 1 \pmod{4}$ slechts op $1$ manier kan worden geschreven als de som van $2$ kwadraten).

Zo mag je $0,9,16,64,81$ uitsluiten.
Voor $25$ moet $(a+5)^2+(b+5)^2=160=12^2+4^2$ waaruit volgt dat $a,b$ niet beide positief zijn.
Voor $36$ moet $...=180=12^2+6^2$ zodat $a=6$ en $b=0$, en voor $49$ moet $...=200=10^2+10^2=14^2+2^2$ en dus $a=3$ en $b=3$ of $(7,-5)$ wat we niet mogen meetellen.
Het is makklijk na te gaan dat we telkens alle mogelijkheden hebben opgeschreven als som van $2$ volkomen kwadraten.

Besluit: alle oplossingen zijn $\{(3,3,49),(6,0,36),(5,5,5),(4,6,4),(3,7,1)\}$ en evt. $a,b$ verwisseld.