VWO 1991
Vraag 1 Opgelost!
Toon aan dat het getal, gevormd door $1991$ keer het cijfer $1$ na elkaar te schrijven, niet priem is.
Vraag 2 Opgelost!
- Zij $n$ een natuurlijk getal. Bewijs dat er precies één $x>0$ bestaat zodat $x^n + x^{n + 1} = 1$.
- Zij $x_n$ die positieve oplossing van $x^n + x^{n + 1} = 1$. Bepaal $\lim_{n \to \infty} x_n$.
[/]
Vraag 3 Opgelost!
Gegeven een gelijkzijdige driehoek $\triangle ABC$, met $X$ op het lijnstuk tussen A en B, $[A,B]$. Definieer nu $Y\in [B,C], Z\in[A,C]$ zo dat $\triangle XYZ$ gelijkzijdig is. Als de tweede driehoek in oppervlakte half zo groot is als de eerste, bepaal de verhouding $$\frac{|AX|}{|XB|}\frac{|BY|}{|YC|}\frac{|CZ|}{|ZA|}.$$
Vraag 4 Opgelost!
Een woord van lengte $n$ dat bestaat uit enen en nullen noemen we een bitstring van lengte $n$. (bv. 000 is een bitstring van lengte 3, 01101 is een bitstring van lengte 5)
Beschouw de rij $s(1),s(2),...$ van bitstrings van lengte $n>1$ (bv. $000$ is een bitstring van lengte 3, $01101$ is een bitstring van lengte 5) die als volgt geconstrueerd wordt:
- $s(1) = 00..001$,
- $s(k+1)$ wordt als volgt verkregen: verwijder het meest linkse cijfer van $s(k)$. Als dit getal met een $1$ erachter nog niet voorkomt, plaats dan die $1$ erachter, als dat wel al voorkomt, plaats er dan een $0$ achter in de plaats.
Bewijs dat de bitstrings $s(1),s(2),...,s(2^n)$ alle verschillend zijn.
Bijvoorbeeld:
$s(1) = 001 \rightarrow s(2) = 011 \rightarrow s(3) = 111 \rightarrow s(4) = 110 \rightarrow s(5) = 101$
$\rightarrow s(6) = 010 \rightarrow s(7) = 100 \rightarrow s(8) = 000 \rightarrow s(9) = 001 \rightarrow ...$
