vergelijking
Opgave - VWO 1991 vraag 2
- Zij $n$ een natuurlijk getal. Bewijs dat er precies één $x>0$ bestaat zodat $x^n + x^{n + 1} = 1$.
- Zij $x_n$ die positieve oplossing van $x^n + x^{n + 1} = 1$. Bepaal $\lim_{n \to \infty} x_n$.
[/]
- login om te reageren
Oplossing
a.
De functie $f_n = x^n$ is strikt stijgend en continu in $\mathbb{R}^+$ en $f_n(1)=1$.
De functie $g_n=\frac{1}{x+1}$ is strikt dalend en continu in $\mathbb{R}^+$ en $f_n(0)=1$.
Beide functies $f_n$ en $g_n$ moeten dus ergens in precies één $x_n \in (0,1)$ een gelijk beeld $f_n(x_n) = g_n(x_n)$ hebben.
b.
Uit a. volgt $x_n \in (0,1)$. Daar geldt $g_n(x) > \frac{1}{2}$.
Zodus $f_n(x_n) = g_n(x_n) > \frac{1}{2}$.
Er is precies één punt $x'_n \in (0,1)$ met $f_n(x'_n) = \frac{1}{2}$, namelijk $x'_n = \frac{1}{\sqrt[n]{2}}$.
De functie $f_n = x^n$ is zoals gezegd strikt stijgend en continu in $(0,1)$ en dus $f_n(0) < f_n(x'_n) < f_n(x_n) < f_n(1)\Rightarrow 0< x'_n < x_n <1 $.
Dan is $\lim_{n \to +\infty} x'_n \le \lim_{n \to +\infty} x_n \le \lim_{n \to +\infty} 1$ en $\lim_{n \to +\infty} x'_n = 1$.
Zodus $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$.
merk op dat x verschillend van 0 is en als $x\ge 1$ het linkerlid groter is dan twee, contradictie,dus $x_n<1$.
Het linkerlid is een strikt stijgende functie in $x$ , zodat de oplossing uniek is.
Xn vormt een stijgende rij vormen, omdat $f_{n+1}x$<$f_n x$ ,die begrensd is door 1 , dus bestaat de limiet,
,want iedere begrensde monotone rij heeft een limiet.
Indien $x_n$ nadert naar een getal $y \in [0,1[$, dan krijgen
We voor $n \to \infty$ dat het linkerlid naar $0$ gaat, wat niet mocht.
Conclusie: de limiet is $1$