verhouding
Opgave - VWO 1991 vraag 3
Gegeven een gelijkzijdige driehoek $\triangle ABC$, met $X$ op het lijnstuk tussen A en B, $[A,B]$. Definieer nu $Y\in [B,C], Z\in[A,C]$ zo dat $\triangle XYZ$ gelijkzijdig is. Als de tweede driehoek in oppervlakte half zo groot is als de eerste, bepaal de verhouding $$\frac{|AX|}{|XB|}\frac{|BY|}{|YC|}\frac{|CZ|}{|ZA|}.$$
- login om te reageren
Oplossing
Veronderstel w.l.o.g. (=zonder verlies van algemeenheid) dat $|AB|=1$, dan moet $|XY|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Beschouw cosinus regel in $\triangle AXZ$ en noem $|AX|=x$ zodat $|AZ|=1-x$. Dan is
$x^2+(1-x)^2-2x(1-x)\cos(60)=\frac{1}{2}$ Dit is equivalent met
$6x^2-6x+1=0$ waarvan de oplossingen $\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}$ zijn. Nu hebben we dus twee gevallen:
Als $|AX|=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$ dan is $\frac{|AX|}{|XB|}=2+\sqrt{3}$
Als $|AX|=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$ dan is $\frac{|AX|}{|XB|}=2-\sqrt{3}$
Merk op dat het niet moeilijk om aan te tonen is dat $\triangle AXZ$ congruent is met $\triangle BYX$ en $\triangle CZY$ dus dan zijn de verhoudingen ook constant.
We bekomen dus dat de gevraagde verhouding $(2+\sqrt{3})^3$ of $(2-\sqrt{3})^3$ is.