VWO 1989

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat iedere deelverzameling met $55$ elementen uit $\{1,2,\cdots,100\}$ minimum $2$ elementen heeft met verschil $9.$

Vraag 2 Opgelost!

Wanneer in een regelmatige vijfhoek met oppervlakte $1$ alle diagonalen worden getekend, bekomen we een nieuwe vijfhoek, hoe groot is die zijn oppervlakte?

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan:
\[ \alpha =\pm\frac{\pi}{12}+k\cdot\frac{\pi}{2} (k\in\mathbb{Z})\Longleftrightarrow\ |{\tan\alpha}|+|{\cot\alpha}| = 4 \]

Vraag 4 Opgelost!

Laat $D$ de verzameling van alle positieve reële getallen, ongelijk aan $1$ en laat $n$ positief geheel getal.
We hebben een functie $f D\rightarrow \mathbb{R}$ die voldoet aan $x^nf(x)=f(x^2)$ voor alle $x\in D$.
Bovendien is $f(x)=x^n$ voor $0 < x < \frac{1}{1989}$ en voor $x > 1989$.

Bewijs dat $ f(x)=x^n$ voor alle $x \in D$.