reële functie
Opgave - VWO 1989 dag 1 vraag 4
Laat $D$ de verzameling van alle positieve reële getallen, ongelijk aan $1$ en laat $n$ positief geheel getal.
We hebben een functie $f D\rightarrow \mathbb{R}$ die voldoet aan $x^nf(x)=f(x^2)$ voor alle $x\in D$.
Bovendien is $f(x)=x^n$ voor $0 < x < \frac{1}{1989}$ en voor $x > 1989$.
Bewijs dat $ f(x)=x^n$ voor alle $x \in D$.
- login om te reageren
Oplossing
Lemma 1
Per inductie kan men aantonen dat $f(x)=x^n$ wanneer $x> \sqrt[2^k]{1989}$ voor elk natuurlijk getal $k$.
Inductiebasis: $k=0$ is gegeven.
Inductiehypothese: waar voor $k \le K-1$
Inductiestap: We bewijzen dat het geldt voor $K$ als je de IH aanneemt voor $K-1$;
Zij $\sqrt[2^{K}]{1989}$<$x \le \sqrt[2^{K-1}]{1989}$ (in het andere geval volgt het rechtstreeks uit de IH), dan is $x^2>\sqrt[2^{K-1}]{1989}$ en dus geldt $$f(x^2) = x^{2n} = x^{n} f(x) \Rightarrow f(x) = {(x²/x)^{n}} = x^{n} \mbox{( daar x} \neq 0)$$
Daar $lim_{k \to \infty} \sqrt[2^k]{1989}=1$ is $f(x)=x^n$ voor elke $x>1.$
Analoog bewijst men per inductie dat $f(x)=x^n$ wanneer $0$<$x$<$ \sqrt[2^k]{\frac{1}{1989}}$ voor elke natuurlijke $k$.
Daar $lim_{k \to \infty} \sqrt[2^k]{\frac{1}{1989}} =1$, geldt de uitspraak voor $0$<$x$<$1.$
Merk nog op dat f(0²) = f(0) = ${0^{n}}$ . f(0) = 0 . f(0) = 0 = ${0^{n}}$ $\Rightarrow$ f(0)=${0^{n}}$, zolang n$\neq$0.
Q.E.D.