vijfhoek in vijfhoek

Tags:

Opgave - VWO 1989 dag 1 vraag 2

Wanneer in een regelmatige vijfhoek met oppervlakte $1$ alle diagonalen worden getekend, bekomen we een nieuwe vijfhoek, hoe groot is die zijn oppervlakte?

Oplossing

Teken in een regelmatige vijfhoek met zijde A de vijf diagonalen, en noem de lengte van de zijde van het kleine vijfhoekje in het midden a. De gevraagde verhouding van de oppervlaktes klein/groot is dan a^2/A^2.

Het is niet moeilijk te vinden dat in elk hoekpunt van de grote vijfhoek de hoek tussen twee diagonalen en de hoek tussen zijde en diagonaal gelijk zijn. Ze staan immers op dezelfde boog van de omtrekscirkel als je in twee verschillende hoekpunten kijkt. Drie keer deze hoek is de hoek tussen twee opeenvolgende zijden en die is 180° - 360°/5 =108°, bestaande uit drie gelijke delen van 108°/3 = 36°.
Je kan nu in het linkse en het middenste deel twee gelijkbenige driehoeken ontwaren met gelijke tophoek, die dus gelijkvormig zijn. De eerste heeft basis met lengte A-a en andere zijden met lengte A, de tweede heeft basis met lengte a en andere zijden met lengte A-a.
Dus $(A-a)^2= Aa$. Dit is een vierkantsvergelijking met oplossingen A/a = $\frac{(3 + \sqrt{5}}{2}$ en het omgekeerde daarvan, zijnde $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ De eerste oplossing stemt overeen met A>a en dus is de gevraagde a^2/A^2 = $\frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$.