Gonio

Opgave - VWO 1989 dag 1 vraag 3

Toon aan:
\[ \alpha =\pm\frac{\pi}{12}+k\cdot\frac{\pi}{2} (k\in\mathbb{Z})\Longleftrightarrow\ |{\tan\alpha}|+|{\cot\alpha}| = 4 \]

Oplossing

We bewijzen eerst de pijl van links naar rechts $\Rightarrow$.
Aangezien $\alpha = \frac{\pm \pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$ is $2\alpha = \frac{\pm \pi }{6}+k\pi$.
We weten dat $cos(2\alpha )= 1-2sin^{2}(\alpha )$ en dat $cos(2\alpha )= 2cos^{2}(\alpha )-1$. Als we deze formules omvormen bekomen we $$\left | sin(\alpha ) \right |=\frac{\sqrt{1-cos(2\alpha )}}{\sqrt{2}} \mbox{ en }\left | cos(\alpha ) \right |=\frac{\sqrt{1+cos(2\alpha )}}{\sqrt{2}}.$$
Zo bekomen we dat $\left | tan(\alpha ) \right |=\frac{\sqrt{1-cos2\alpha }}{\sqrt{1+cos(2\alpha )}}$ en $\left | cot(\alpha ) \right |=\frac{\sqrt{1+cos2\alpha }}{\sqrt{1-cos(2\alpha )}}$.
Merk op dat $$\left|sin(2\alpha )\right| =\left|2\sin \alpha \cos \alpha \right| = \sqrt{1-cos(2\alpha )}\sqrt{1+cos(2\alpha )} $$
wat helpt om de vierkantswortels in de uitdrukkingen weg te werken:
$$\left | tan(\alpha ) \right |=\frac{1-cos(2\alpha )}{\left | sin(2\alpha ) \right |}\mbox{ en }\left | cot(\alpha ) \right |=\frac{1+cos(2\alpha )}{\left | sin(2\alpha ) \right |}.$$
Nu tellen we $\left | tan(\alpha ) \right |$ en $\left | cot(\alpha ) \right |$ op. Dan is $\left | tan(\alpha ) \right |+\left | cot(\alpha ) \right | = \frac{2}{\left | sin(2\alpha ) \right |}$. Aangezien $\frac{\pm \pi }{6}+k\pi$ tabelwaardes zijn, weten we dat $\left | sin(2\alpha ) \right |$ gelijk is aan $\frac{1}{2}$. Als we dit uitrekenen, bekomen we 4 als uitkomst (wat bewezen moest worden).
Vervolgens bewijzen we ook de omgekeerde richting $\Leftarrow$.
We weten reeds dat $\left | tan(\alpha ) \right |+\left | cot(\alpha ) \right |=\frac{2}{\left | sin(2\alpha ) \right |}=4$ en bijgevolg zal $sin(2\alpha )=\frac{-1}{2}$ of $sin(2\alpha )=\frac{1}{2}$.
Als we dit uitreken zullen we 4 mogelijkheden uitkomen, die we eenvoudiger kunnen schrijven als $\alpha = \frac{\pm \pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$ met k $\in \mathbb{Z}$.
QED.