MOAWOA 2012

Dag 1

Vraag 1

Bestaat er een veelterm $P(z)=a_0+a_1z + \cdots a_n z^n$met gehele coefficienten zodat $|a_0|+|a_1|+\cdots+|a_n|>2012$, maar $|P(z)|<2012$ voor alle $z \in \mathbb C$ met $|z|=1$ ?

Vraag 2

Zij $f$:$(0,1) \to R$ een $C^{\infty}$ functie die voldoet aan
$ \int_0^1 f^{(n)}(x) dx=0$ voor alle $n \in N$.
Volgt het dat $f$ een constante functie is?
--
Zij $f$:$R \to R$ een $C^{\infty}$ functie die voldoet aan
$ \int_0^{\infty} f^{(n)}(x) dx=0$ voor alle $n \in N$.
Volgt het dat $f$ een constante functie is?

Vraag 3

Bewijs dat er oneindig veel paren natuurlijke $a,b$ bestaan zodat

$1+2+\cdots+a=(a+1)+(a+2)+\cdots +b.$

Vraag 4

Zij $n$ een natuurlijk getal.
We definieren een afbeelding $\pi$ van $\mathbb{C}^{m*m} \to \mathbb{C}^{2m*2m}$ door

$\pi(M) = \begin{pmatrix}
Re(M_{11}) & -Im(M_{11}) & \cdots & Re(M_{1n}) & -Im(M_{1n}) \\
Im(M_{11}) & Re(M_{11}) & \cdots & Im(M_{1n}) & Re(M_{1n}) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
Re(M_{n1}) & -Im(M_{n1}) & \cdots & Re(M_{nn}) & -Im(M_{nn})\\
Im(M_{n1}) & Re(M_{n1}) & \cdots & Im(M_{nn}) & Re(M_{nn})
\end{pmatrix}$

Bewijs dat $det \pi(M) = |det M|^2$.

Vraag 5

Zij $n > 3$ een natuurlijk getal. Een paard is geplaatst in linkerbovenhoek van een $n*n$schaakbord.
Op ieder vakje van het bord plaatsen we het minimaal aantal zetten dat we nodig hebben om het paard tot dit vakje te krijgen.
Bekijk het maximum van die getallen, vind alle $n$ zodat dit maximum niet in $1$ van de hoekpunten van het bord staat.

Vraag 6

Zij $f$:$ R^{+} \to R$ een twee maal continu afleidbare functie zodat $f+f"$ begrensd is.
Bewijs dat er een $\alpha >0$ bestaat zodat $f(x)= O(x^{\alpha})$.
Vind het infimum van zo'n $\alpha$.