JEMC 2022

Dag 1

Vraag 1

Vind alle (strikt) positieve gehele getallen $n$ waarvoor er drie positieve delers $a$, $b$, $c$ van $n$ bestaan zodat $a>b>c$ en
$a^2-b^2$, $b^2-c^2$, $a^2-c^2$ allen delers zijn van $n$.

Vraag 2

Vind alle paren (strikt) positieve reële getallen $(x,y)$ zodat $xy$ geheel is en $$x+y=\lfloor x^2-y^2 \rfloor.$$
\emph{Opmerking:} Voor een reëel getal \(z\), noteren we \(\lfloor z \rfloor\) voor het grootste geheel getal kleiner of gelijk aan \(z\). Bijvoorbeeld \(\lfloor 17 \rfloor = 17\), \(\lfloor 8.2 \rfloor = 8\) en $\lfloor -5.4 \rfloor = -6$

Vraag 3

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek met $|BC|<|AC|$. Zij $\tau$ de incirkel (ingeschreven cirkel) van $ABC$ en $I$ het incentrum (middelpunt van $\tau$).
De cirkel $\tau$ raakt aan $BC$ en $AC$ in punten $D$ en $E$ respectievelijk. Het punt $M$ op $\tau$ is zodanig dat $BM$ parallel (evenwijdig) is met $DE$ en zodat $M$ en $B$ aan de zelfde kant van de bissectrice van de hoek $\angle{BCA}$ liggen. Zij $F$ en $H$ de snijpunten van $\tau$ met $BM$ en $CM$ verschillend van $M$ respectievelijk. Zij $J$ het punt op de rechte $AC$ waarvoor $JM$ parallel is met $EH$. Zij $K$ het snijpunt van $JF$ en $\tau$ verschillend van $F$.

Bewijs dat de rechten $ME$ en $KH$ parallel zijn.

Vraag 4

Zij $X=\{1,2,3,\ldots, 300\}$. Een collectie $F$ van verschillende (niet noodzakelijk niet-lege) deelverzamelingen van $X$ is \emph{lief} als er voor elke drie (niet noodzakelijk verschillende) verzamelingen $A$, $B$, $C$ in $F$, er maximaal drie uit de volgende acht verzamelingen niet leeg zijn:

$A \cap B \cap C, \overline{A} \cap B \cap C, A \cap \overline{B} \cap C, A \cap B \cap \overline{C},$
$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C, \overline{A} \cap B \cap \overline {C}, A \cap \overline{B} \cap \overline{C}, \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$,

waarbij $\overline{S}$ de verzameling van elementen in $X$ die niet behoren tot $S$ is.

Wat is het grootst mogelijke aantal verzamelingen in een lieve collectie?