Lieve vraag kan moeilijk zijn

Zij $X=\{1,2,3,\ldots, 300\}$. Een collectie $F$ van verschillende (niet noodzakelijk niet-lege) deelverzamelingen van $X$ is \emph{lief} als er voor elke drie (niet noodzakelijk verschillende) verzamelingen $A$, $B$, $C$ in $F$, er maximaal drie uit de volgende acht verzamelingen niet leeg zijn:

$A \cap B \cap C, \overline{A} \cap B \cap C, A \cap \overline{B} \cap C, A \cap B \cap \overline{C},$
$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C, \overline{A} \cap B \cap \overline {C}, A \cap \overline{B} \cap \overline{C}, \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$,

waarbij $\overline{S}$ de verzameling van elementen in $X$ die niet behoren tot $S$ is.

Wat is het grootst mogelijke aantal verzamelingen in een lieve collectie?