JEMC 2016

Dag 1

Vraag 1

Een sprinkhaan is aan het springen op de getallenlijn (getallenas). Initieel bevindt de sprinkhaan zich op het nulpunt. In de $k^{de}$ stap, maakt hij een jump/ sprong van lengte $k$.

Als de lengte van de sprong even is, springt hij naar links en anders naar rechts (dus hij springt eerst $1$ naar rechts, dan $2$ naar links, vervolgens $3$ naar rechts etc.) .
Zal hij elk geheel getal een keer (minstens één keer) bezoeken?

Als de spronglengte debelaar is door $3$, springt hij naar links en anders naar rechts (dus bvb. eerst springen met één stap naar rechts, dan twee stappen naar rechts en vervolgens drie stappen naar links, vier stappen naar rechts etc.)
Zal hij elk geheel getal een keer bezoeken?

Vraag 2

Twee cirkels $C_1$ en $C_2$ snijden in punten $A$ en $B$. Zij $P,Q$ de punten op cirkels $C_1,C_2$ respectievelijk zodat $|AP|=|AQ|$. Het segment $\overline{PQ}$ snijdt de cirkels $C_1$ en $C_2$ in punten $M,N$ respectievelijk. ZIj $C$ het midden van de boog $BP$ van $C_1$ die niet het punt $A$ bevat en zij $D$ het midden van de boog $BQ$ van $C_2$ ook niet $A$ bevat. Zij $E$ het snijpunt van $CM$ en $DN$. Bewijs dat $AE$ loodrecht staat op $CD$.

Vraag 3

Bewijs dat er voor elk natuurlijk getal $n$ er $n$ verschillende, (strikt) positieve rationale getallen bestaan waarvoor geldt dat de som van hun kwadraten gelijk is aan $n$.

Vraag 4

We noemen een paar natuurlijke getallen $(n,k)$ met $k>1$ een lief koppel als er een $n \times n$tabel bestaat bestaande uit nullen en enen, zodat geldt dat aan volgende eigenschappen voldaan is:

In elke rij zijn er exact $k$ enen.
Voor elke twee rijen is er exact één kolom zodat op beide snijpunten met die kolom, er een één geschreven is.

Los nu volgende subproblemen op:

Zij $d \neq 1$ een deler van $n$. Vind alle resten die $d$ kan geven, bij deling door $6$.
Bewijs dat er oneindig veel lieve koppels bestaan.