JEMC 2015

Dag 1

Vraag 1

Gegeven een $n \times n$ bord. Rijen zijn gelabeld van boven naar beneden met getallen van $1$ tot $n$ en kolommen zijn gelabeld van links naar rechts met de getallen $1$ tot $n$.
Op het vakje/plaats met coördinaten $(x,y)$ zetten we het getal $x^2 + y^2$.

Gegeven is een figuur (bvb. een pion) dat we in het begin op een willekeurig vakje kunnen zetten.
In iedere stap kunnen we het figuurtje bewegen van de ene plaats naar de andere als het andere veld nog niet bereikt is geweest en aan minstens één van de volgende waarden voldaan is:

* de getallen op de $2$ vakjes hebben de zelfde rest bij deling door $n$,
* de vakjes liggen puntsymmetrisch t.o.v. het centrum van het bord

Kunnen alle vakjes bezocht worden in geval dat

* $n=4$,
* $n=5$?

Vraag 2

Zij $m,n,p$ positieve, reëe getallen waarvoor geldt dat $mnp=8$. Afhankelijk van deze constanten, vind het minimum van
$$ x^2+y^2+z^2+mxy+nxz+pyz,$$
waarbij $x,y,z$ willekeurige, positieve, reëe getallen zijn zodat $xyz=8$.
Wanneer is er gelijkheid?

Los dit probleem op voor

*$m=n=p=2$,
* willekeurige, vaste, positieve, reële getallen $m,n,p$.

Vraag 3

Zij $d(n)$ het aantal positieve delers van $n$. Voor elk natuurlijk getal $n$ definiëren we $f(n)$ als
$$ f(n)=d(k_1)+d(k_2)+ \ldots + d(k_m),$$
waarbij $1=k_1 < k_2 < \cdots < k_m=n$ alle delers van $n$ zijn.

We noemen een natuurlijk getal $n>1$ bijna perfect als $f(n)=n$. Vind alle getallen die bijna perfect zijn.

Vraag 4

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek.
Zij $B',A'$ de punten op de middelloodlijn van de lijnstukken $AC,BC$ respectivelijk, zodat $B'A \perp AB$ en $A'B \perp AB$.

Zij $P$ een punt op het lijnstuk $AB$ en $O$ het omcentrum (middelpunt van omgeschreven cirkel) van $ABC$. Zij $D,E$ de punten op $BC,AC$ respectivelijk zodat $DP \perp BO$ en $EP \perp AO$. $O'$ is het omcentrum van $CDE$. Bewijs dat $B',A'$ en $O'$ collinear zijn.